Os valores da abscissa x, tais que sua imagem pela função f(x) = ax + b é positiva são os elementos do conjunto
{x ∈ ℝ: x > − b/a, a > 0} ∪ {x ∈ ℝ: x < − b/a, a < 0}.
Função polinomial do primeiro grau (ou função afim)
⋄ Definição: Uma função f: D ⊆ ℝ ⟶ ℝ é chamada função polinomial de primeiro grau (ou função afim) se existem constantes reais a e b, a ≠ 0, tais que
f(x) = ax + b
para todo x ∈ D.
As constantes a e b são os coeficientes da lei da função f, sendo
- a o coeficiente angular (ou taxa de variação média).
- b o coeficiente linear.
Domínio e conjunto imagem de uma função afim
⋄ Domínio:
Dada a lei de uma função afim, não existem restrições para os valores que a variável x pode assumir. Logo, caso nada for dito no enunciado, sempre consideramos que o domínio de qualquer função afim é todo o conjunto dos reais. Denotamos D(f) = ℝ.
⋄ Conjunto imagem:
É o conjunto de todos os valores que a função f assume, conforme x percorre os valores dos elementos do domínio.
Considere uma função afim cuja lei está em sua forma geral:
f(x) = ax + b
Seja c um número real qualquer. Observe que se tomarmos em particular x = (c − b)/a, temos
f(x) = f((c − b)/a)
= a · ((c − b)/a) + b
= (c − b) + b
= c
Concluimos que todo número real é imagem de algum elemento do domínio pela função f. Portanto, o conjunto imagem da função afim é todo o conjunto dos reais. Denotamos Im(f) = ℝ.
Inequações polinomiais do primeiro grau
⋄ Definição: São todas as desigualdades que podem ser reduzidas a alguma das formas a seguir:
- f(x) < 0
- f(x) ≤ 0
- f(x) > 0
- f(x) ≥ 0
onde f é uma função afim.
Determinar os valores de x dado o sinal de f(x)
Considere f(x) = ax + b uma função afim. Queremos encontrar os valores de x tais que sua imagem por f é positiva, isto é
f(x) > 0 (∗)
Substituindo a lei da função, obtemos
⟺ ax + b > 0
⟺ ax > − b (∗∗)
Atenção! A solução da inequacao depende exclusivamente do sinal de a. Temos duas possibilidades:
Se a é positivo, então 1/a também é positivo. Logo, ao multiplicarmos ambos os lados da Inequação (∗∗) por 1/a, o sentido da desigualdade se mantém:
⟹ (ax) · (1/a) > − b · (1/a)
⟺ x > − b/a (∗∗∗)
Analogamente, se a é negativo, então 1/a também é negativo. Logo, ao multiplicarmos ambos os lados da Inequação (∗∗) por 1/a, o sentido da desigualdade se inverte:
⟹ (ax) · (1/a) < − b · (1/a)
⟺ x < − b/a (∗∗∗∗)
O conjunto solução para a Inequação (∗) é a reunião das soluções para cada caso:
⟺ S = {x ∈ ℝ: x > − b/a, a > 0} ∪ {x ∈ ℝ: x < − b/a, a < 0}.
Dúvidas? Comente.
Bons estudosl :-)
