A alternativa correta é a letra A, [tex]\frac{\partial f }{\partial t }=-tsin^2t+costsint+tcos^2t[/tex].
Para responder a essa pergunta devemos lembrar como realizamos o produto de uma derivada e também o que é uma derivada parcial.
Uma derivada parcial é uma derivada em referência a uma variável específica tratando as outras como constantes. Nesse caso, não teremos outras variáveis, pois como demonstrado abaixo, a função será apenas em relação a variável t. Substituindo a função paramétrica:
[tex]f(x,y)=xysin(y)\\\\f(t) = cost*t*sin(t)[/tex]
Quando realizamos uma derivada de um produto, devemos lembrar o seu conceito:
[tex]\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} = u*v'+u'*v[/tex]
Onde precisamos primeiro fazer a derivada do primeiro termo multiplicar pelo termo igual e somarmos mais o primeiro termo igual multiplicado pelo segundo derivado. Esse mesmo conceito pode ser aplicado para derivadas parciais:
[tex]\frac{\partial f }{\partial t} = (cost*t)'*sint+cost*t*(sint)'\\\\\frac{\partial f }{\partial t}=(-sint*t+cost)*sint+cost*t*cost\\\\\frac{\partial f }{\partial t}=-sin^2t*t+cost*sint+cos^2t*t[/tex]
Assim, chegamos ao nossa resultado [tex]\frac{\partial f }{\partial t }=-tsin^2t+costsint+tcos^2t[/tex], letra A.
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