A integral definida dada é: [tex]\int^{\tt\frac{\pi}{4}}_{\tt0}\tt\frac{sen\,x}{cos\,x}\,dx=-\,\ell n(\frac{\sqrt{2}}{2})[/tex] (alternativa e).
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[tex]\displaystyle\int^{\tt\frac{\pi}{4}}_{\tt0}\tt\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\,dx[/tex]
Primeiro de tudo, calcule a integral indefinida dessa função (não é preciso contabilizar a constante). Por substituição, fazendo u = cos x e derivando-o, encontra-se exatamente:
[tex]\tt\dfrac{du}{dx}=(cos\,x)'~\Leftrightarrow~du=-\,sen\,x\,dx~\Leftrightarrow~-du=sen\,x\,dx[/tex]
Portanto:
[tex]\displaystyle\int\tt\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\,dx~\Leftrightarrow~\displaystyle\int\tt\!-\dfrac{1}{u}\,du~\Leftrightarrow~-\,\ell n(|u|)~\Leftrightarrow~-\,\ell n(|cos\,x|)[/tex]
Obs.: a integral do inverso de u é igual ao logaritmo de u.
Em consequência, para encontrar o resultado da integral definida aplique o Teorema Fundamental do Cálculo (em anexo):
[tex]\displaystyle\int^{\tt\frac{\pi}{4}}_{\tt0}\tt\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\,dx=-~\ell n(|cos\,x|)\bigg|^{\frac{\pi}{4}}_{0}=-~\ell n\bigg(cos\,\frac{\pi}{4}\bigg)+\ell n(cos\,0)[/tex]
[tex]\tt=~-\,\ell n\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+\ell n(1)[/tex]
[tex]\tt=~-\,\ell n\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+0[/tex]
[tex]=~\boxed{\tt\!-\,\ell n\bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)}[/tex]
Nota: cos π/4 = cos 180º/4 = cos 45º = √2/2, cos 0 = 1 e ln(1) = 0.
Sendo assim, a alternativa e) é a resposta.
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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.