Quem eram os sofistas?

Nosso objetivo é calcular a área entre essas duas curvas definidas como y = √4x - x² e y = x.

Lembre-se que a área entre as curvas é igual à área da curva acima menos a área da curva abaixo. A área desta região pode ser calculada usando uma integral definida da seguinte forma:

[tex]\displaystyle A _T= \int^{x _2} _ {x_1} \left[ g(x) - f(x)\right] dx[/tex]

Para encontrar a área entre as curvas y = √4x - x² e y = x, devemos igualar ambas funções para obter as interações entre essas duas funções. Se fizermos isso, obteremos a equação:

[tex]\sqrt{4x-x^2} =x\\\\ \Longleftrightarrow\quad\left(\sqrt{4x-x^2}\right)^2=x^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x - x^2=x^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x-x^2-x^2=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x - 2x^2=0\qquad \\\\2x(2 - x)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2x=0\quad \wedge\quad 2-x=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=0\quad\wedge \quad -x=-2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1=0\quad\wedge \quad x_2=2[/tex]

Então, levando em conta o valor das interações entre ambas as curvas, podemos concluir que a área entre essas duas curvas pode ser calculada pela integral:

[tex]\displaystyle A _T= \int^{2} _ {0} \left[ \sqrt{4x-x^2}- x\right] dx[/tex]

Pelas propriedades das integrais sabemos que a integral da subtração de duas ou mais funções é igual à subtração das integrais das funções separadamente.

[tex]\displaystyle A _T=\underbrace{ \int^{2} _ {0} \sqrt{4x-x^2} dx}_{\star}-\overbrace{ \int^{2} _ {0} x dx}^{\star\star}\\\\ [/tex]

Vamos resolver essas duas integrais separadamente, pois se tentarmos resolver as duas integrais ao mesmo tempo vamos ter muita dificuldade, para resolver as integrais separadamente o que faremos é atribuir algum nome a essas duas integrais eu atribuo os nomes de [tex]\star [/tex] e [tex]\star\star[/tex], primeiro vamos tentar resolver a integral [tex]\star [/tex] já que é a mais complicada.

[tex]\displaystyle \int^{2} _ {0} \sqrt{4x-x^2} dx\\\\ \displaystyle \Longleftrightarrow\quad = \int^{2} _ {0} \sqrt{-(x-2)^2+4} [/tex]

Para resolver essa integral de uma forma mais simples vamos aplicar um método conhecido como mudança de variável, o que vamos fazer é mudar uma expressão que parece muito complexa para nossa integral para uma variável u e com relação a essa variável vamos integral. Aplicando a substituição:

[tex]\begin{cases}u= x-2\\\\ du = dx\end{cases}[/tex]

Como agora vamos integral em relação à variável u, temos que alterar nossos limites de integração, de modo que nossos novos limites de integração são iguais a:

[tex]\begin{cases}u= 2-2\\\\ u=0-2\end{cases}~\begin{cases}u= 0\\\\ u=-2\end{cases}[/tex]

Substituindo na nossa integral:

[tex] \displaystyle \Longleftrightarrow\quad = \int^{0} _ {-2} \sqrt{-u^2+4} du[/tex]

Aplicamos uma nova substituição conhecida como substituição trigonométrica, sendo nossas novas variáveis definidas como:

[tex]\begin{cases}u=2\sin{(\theta)}\\\\ du =2\cos{(\theta)}d\theta\\\\ \theta =\arcsin{\left(\dfrac{u}{2}\right)}\end{cases}[/tex]

Ao substituir na integral, a raiz quadrada irá desaparecer, e no final obterá o mesmo resultado:

[tex]\Longleftrightarrow\quad\displaystyle=\int \sqrt{-\left(2\sin{(\theta)}\right)^2+4}~2\cos{(\theta)}d\theta\\\\\Longleftrightarrow\quad\displaystyle=\int \sqrt{-4\sin^2{(\theta)}+4}~2\cos{(\theta)}d\theta \\\\\Longleftrightarrow\quad \displaystyle =\int \sqrt{-4\sin^2{(\theta)}+4}~2\cos{(\theta)}d\theta\\\\\Longleftrightarrow\quad \displaystyle =\int \sqrt{4\left(-\sin^2{(\theta)}+1\right)}~2\cos{(\theta)}d\theta\\\\\Longleftrightarrow\quad \displaystyle =\int \sqrt{4\cos^2{(\theta)}}~2\cos{(\theta)}d\theta\\\\ \Longleftrightarrow\quad \displaystyle =\int 2\cos{(\theta)}\cdot2\cos{(\theta)}d\theta\\\\ \Longleftrightarrow\quad \displaystyle =\int 4\cos^2{(\theta)}d\theta\\\\ \Longleftrightarrow\quad \displaystyle =4\int \dfrac{1+\cos{(2\theta)}}{2}d\theta\\\\\Longleftrightarrow\quad \displaystyle =2\int 1+\cos{(2\theta)}d\theta [/tex]

Mudando os limites de integração:

[tex]\begin{cases}\theta=-\arcsin{(1)} \\\\ \theta=\arcsin{(0)}\end{cases}~\begin{cases}\theta= -\dfrac{\pi}{2}\\\\ \theta=0\end{cases}[/tex]

O valor numérico desta integral seria o mesmo valor numérico da integral original, resolvendo a integral obtemos:

[tex]\Longleftrightarrow\quad \displaystyle =2\int^0_{-\frac{\pi}{2}}1+\cos{(2\theta)}d\theta \\\\ \Longleftrightarrow\quad =2\cdot \left(x+\dfrac{1}{2}\sin{(2\theta)}\right)^0_{-\frac{\pi}{2}}\\\\ \Longleftrightarrow\quad =2\cdot\left[ \left(0+\dfrac{1}{2}\sin{(0)}\right)-\left(-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\sin{(-\pi)}\right)\right]\\\\ \Longleftrightarrow\quad =2\cdot \dfrac{\pi}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad =\pi[/tex]

Resolvendo a integral [tex]\star\star[/tex]:

[tex]\Longleftrightarrow\quad \displaystyle \int^2_0x dx\\\\ \Longleftrightarrow\quad =\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^2_0\\\\\Longleftrightarrow\quad= \left[\left(\dfrac{0^2}{2}\right)-\left(\dfrac{2^2}{2}\right)\right] \\\\ \Longleftrightarrow\quad=2[/tex]

Então temos que:

[tex]\boxed{A _T= \pi-2}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta ~B}[/tex]

Resposta:

O lixo orgânico é o lixo que pode ser transformado em composto orgânico, ou seja, virando adubo através de um processo de compostagem, podendo ser usado em hortas e jardins devido ao seu alto índice de nutrientes

(não sei se ta certo eu peguei num site rsrs)

Resposta:

Em nosso país podemos encontrar seis tipos de biomas: Amazônia, Mata Atlântica, Cerrado, Caatinga, Pampa e Pantanal. Nossos Biomas são importantes não somente como recursos naturais em nosso país, mas, tem destaque como ambientes de grande riqueza natural no planetary

Em nosso país podemos encontrar seis tipos de biomas: Amazônia, Mata Atlântica, Cerrado, Caatinga, Pampa e Pantanal. Nossos Biomas são importantes não somente como recursos naturais em nosso país, mas, tem destaque como ambientes de grande riqueza natural no planeta.

Resposta:

não sei se tá certo, mas minha professora ensinou assim né, deu 38/4 (fração tá)

Explicação passo-a-passo:

7(x5)=3-(x1)=

7x+35=3x-3=

7x-3x=35+3=

4x=38

x=38/4#

Resposta:

x=3,2

Explicação passo a passo:

7(x5)=3-(x1)=?

7x+35=-3x-3=?

7x+3x=35-3=?

10x=32

x=32/10

x=3,2