Um subespaço vetorial é um espaço vetorial contido em outro espaço vetorial maior. Os subespaços vetoriais herdam propriedades do espaço vetorial pai e por isso, para determinar se um subconjunto de vetores é um subespaço vetorial basta verificar o cumprimento de apenas dois axiomas, são eles:
- Se [tex]u,v\in W[/tex] então [tex]u+v\in W[/tex], ou seja, W é fechado sob a soma.
- Se [tex]u \in W[/tex] e [tex]\alpha \in K[/tex] então [tex]\alpha u \in W[/tex] , ou seja, W é fechado sob o produto escalar.
Queremos mostrar que o espaço vetorial definido como [tex]S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | 2x + 3y - 4z=0\}[/tex] é um subespaço vetorial do espaço vetorial V definido como [tex]\mathbb{R}^3[/tex], para provar que S é um subespaço vetorial de V, primeiro mostre que o espaço vetorial S é fechado sob a soma dos vetores u e v.
- Suponha que o vetor u e v sejam definidos na forma:
[tex]\begin{cases} u =(x _1, y_1, z_1)\\\\ v=(x_2,y_2,z_2)\end{cases}\\\\ Portanto ~temos ~que:~~~ \begin{cases} 2x_1+3y_1-4z_1=0\\\\ 2x_2+3y_2-4z_2=0\end{cases}\\\\ Se~ realizarmos~ a ~soma~ entre ~os ~vetores ~u~ e ~v~ podemos ~verificar~ que:~~~\\\\ 2(x_1+x_2) + 3(y_1+y_2) -4(z_1+z_2)=0\\\\ (2x_1+2x_2) + (3y_1+3y_2) +(-4z_1-4z_2)=0[/tex]
Podemos alinhar os componentes de u em uma parte e os componentes de v em outra parte, de forma que obtenhamos:
[tex]\underbrace{(2x_1+3y_1-4z_1)}_0+\underbrace{(2x_2+3y_2-4z_2)}_0=0\\\\ 0+0=0\\\\ 0=0[/tex]
Podemos verificar que o espaço vetorial S é fechado sob a soma dos vetores u e v, então o próximo passo é verificar que o espaço vetorial S é fechado sob o produto escalar. Levando em conta como o vetor u é definido, o produto escalar entre alfa e u é igual a:
[tex] \alpha \cdot (x_1,y_1,z_1) \in V\\\\ (\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)\in V\\\\Substituindo~ os~ componentes ~de~ x, ~y~e~z ~no ~espac_{\!\!,}o~ vetorial ~S ~obtemos ~a ~express\tilde{a}o: ~~~\\\\ 2(\alpha x_1 )+ 3(\alpha y_1)-4(\alpha z_1)=0[/tex]
A varel α é um fator comum nesta expressão, então extraindo α como um fator comum temos:
[tex] \alpha\cdot\underbrace{\left(2 x_1+ 3y_1-4 z_1\right)}_0=0\\\\ \alpha\cdot 0=0\\\\ 0=0[/tex]
Conclusão: O subconjunto [tex]S = {(x, y, z) \in\mathbb{R^3} | 2x - 3y + 4z = 10}[/tex] de [tex]\mathbb{R}^3[/tex] satisfaz as duas condições para ser subespaço vetorial de de [tex]\mathbb{R}^3[/tex] sobre R.