Resposta:
[tex]9\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} cm[/tex]
Explicação passo a passo:
A área de qualquer Poligono pode ser calculada como
[tex]A_n=\frac{P\alpha}{2}[/tex]
onde [tex]P[/tex] é o Perimetro (a soma da medida de todos os lados) e [tex]\alpha[/tex] é a Apótema
Nesse caso temos um triângulo equilátero que tem algumas própriedades interessantes, entre ela
i) todos os lados possuem mesma medida
Com isso podemos resolver a questão
A área do triângulo é dada por
[tex]A_{\Delta}=\frac{base\times altura}{2}[/tex]
Nesse caso vamos chamar a [tex]base[/tex] de [tex]b[/tex]
Já para a altura podemos usar o Teorema de Pitágoras se dividirmos o t[tex]h^2=b^2+\frac{b^2}{4}[/tex]
multiplicando e dividindo [tex]b^2[/tex] por [tex]4[/tex] ( ou tirando o mmc, também funciona igual)
[tex]h^2=\frac{4b^2+b^2}{4}=\frac{5b^2}{4}[/tex]
aplicando a raiz dos dois lados da igualdade
[tex]h=\sqrt{\frac{5b^2}{4}}=\sqrt{5}\times \frac{b}{2}[/tex]
Então a área do nosso triângulo vai ser
[tex]A_{\Delta}=\frac{base\times altura}{2}=\frac{b\times {\sqrt{5}\times \frac{b}{2}}}{2}=\sqrt{5}\times \frac{b^2}{4}[/tex]
Agora utilizando o fato que
[tex]A_n=\frac{P\alpha}{2}[/tex]
e que o enunciado deu [tex]\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]
substituindo [tex]P=3b[/tex], pois o triângulo tem 3 lados iguais, vamos ficar com
[tex]\sqrt{5}\times \frac{b^2}{4}=\frac{3b\times \frac{3\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3b\times 3\sqrt{3}}{4}=\frac{9b\sqrt{3}}{4}[/tex]
multiplicando os dois lados da igualdade (o primeiro e o último termo no caso) por [tex]4[/tex]
[tex]\sqrt{5}\times b^2=9b\times \sqrt{3}[/tex]
dividindo os dois lados por [tex]\sqrt{5}[/tex]
[tex]b^2=9b\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}[/tex]
Dividindo os dois lados por [tex]b[/tex]
[tex]b=9\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}[/tex]
então a medida de cada lado do triângulo é [tex]9\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}cm[/tex]
Qualquer dúvida chama nois (que questão complicadinha :|