Questão 6 image.png 29.7 KB Alternativas A - Apenas I é verdadeira. B - Apenas II é verdadeira. C - Apenas III é verdadeira. D - Apenas I e II são verdadeiras. E - Todas são verdadeiras

Resposta:

Apenas a afirmativa III é verdadeira e a alternativa correta está na opção de letra C.

Explicação passo a passo:

A² = A x A = [tex]\left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&2\\\end{array}\right][/tex] x [tex]\left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&2\\\end{array}\right][/tex]  = [tex]\left[\begin{array}{ccc}2.2+(-5).(-1)&2.(-5)+(-5).2\\-1.(2)+2.(-1)&-1.(-5)+2.2\\\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}4+5&-10+(-10)\\-2+(-2)&5+4\\\end{array}\right] =[/tex][tex]\left[\begin{array}{ccc}9&-20\\-4&9\\\end{array}\right][/tex]

Portanto, a afirmativa I é falsa.

A matriz inversa de A = [tex]\left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&2\\\end{array}\right][/tex] é igual à matriz [tex]A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}2&5\\1&2\\\end{array}\right][/tex], já que:

A . [tex]A^{-1}[/tex] = [tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] =I_2[/tex]  

[tex]A^{-1}[/tex] . A = [tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] =I_2[/tex]

Portanto, a afirmativa II é falsa.

Det[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&2\\\end{array}\right][/tex] = 2(2) - (-5)(-1) = 4 - 5 = -1

(Aqui, subtrai-se a multiplicação dos termos da diagonal secundária da multiplicação dos termos da diagonal principal.)

Assim, o dobro do determinante de A é 2(-1) = -2.

2 x [tex]\left[\begin{array}{ccc}2&-5\\-1&2\\\end{array}\right][/tex] = [tex]\left[\begin{array}{ccc}4&-10\\-2&4\\\end{array}\right][/tex].

(Aqui, multiplica-se por 2 todos os termos da matriz para se obter o dobro dela.)

Det [tex]\left[\begin{array}{ccc}4&-10\\-2&4\\\end{array}\right][/tex] = 4(4) - (-10)(-2) = 16 - 20 = -4

Portanto, a afirmativa III é verdadeira.