(Aritmética: Congruência modular – Números primos)Seja k ∈ ℕ*.a) Suponha que n = 2k + 1 é primo ímpar. É possível que k seja da forma 11q + 5? Justifique.b) Mostre que se 2k + 1 é primo ímpar, então para todo p primo, p > 2 e p ≠ 2k + 1, devemos ter k ≢ (p−1)/2 (mod p).

Assunto:
Matemática
Autor:
atanasio
Criado em:
1 ano atrás

Respostas 1

a)Com [tex]k = 11q + 5[/tex] :

[tex]n = 2k + 1\\= 2(11q +5) + 1\\= 22q +10 + 1\\= 22q + 11\\= 11(2q + 1)\\11 \mid n[/tex]

A não ser que [tex]q[/tex] seja igual a 0, [tex]n[/tex] não pode ser primo.

[tex]k[/tex] não pode ser da forma [tex]11q+5[/tex] e [tex]n[/tex] ser primo, simultaneamente.

Vamos supor o contrário, que existe [tex]k[/tex] tal que:

[tex]k \equiv \cfrac{p-1}{2} \pmod p[/tex]

Então:

[tex]2k \equiv p-1 \pmod p\\2k + 1\equiv p \pmod p\\2k + 1 \equiv 0 \pmod p[/tex]

Ou seja, [tex]p \mid n[/tex]. Porém isso não deveria acontecer, visto que [tex]n[/tex] é primo e que [tex]p \neq n[/tex]. Portanto, se a congruência do enunciado é verdadeira, [tex]n[/tex] não pode ser primo, então se [tex]n[/tex] é primo, a congruência do enunciado não é verdadeira:

[tex]k \not \equiv \cfrac{p-1}{2} \pmod p[/tex]

Autor:

cutie piemwxn
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