Resposta: O menor intervalo de tempo para as batidas simultâneas dos três relógios tocarem é igual a 600 minutos que é igual a 10 horas.
Sabemos que existem três relógios que chamaremos de A, B e C sabemos que o relógio A toca a cada 15 minutos, o relógio B toca a cada 25 minutos e o último relógio, ou seja, o relógio C toca a cada 40 minutos e estamos interessados em conhecer o menor intervalo de tempo para que os três relógios dêem duas batidas simultâneas.
Para encontrar o menor intervalo de tempo em que os três relógios tocam suas duas campainhas simultaneamente, o que podemos fazer é relacionar esse problema ao mínimo múltiplo comum (mmc).
O mínimo múltiplo comum (mmc) é o menor número que satisfaz a condição de ser múltiplo de todos os elementos de um conjunto de números. Para encontrar o mínimo múltiplo comum entre os números 15, 25 e 40, a primeira coisa a fazer é dividir cada número em fatores primos, os fatores primos são o números 2,3,5 e 7, existem mais, mas esses são os mais usados.
Podemos ver que os números 15, 25 e 40 têm dois fatores primos em comum e estes são o número 5, então dividindo 15,25 e 40 por 5 podemos obter:
[tex]\begin{array}{ccc|c}15&25&40&5\\ 3&5&8 \end{array}[/tex]
Podemos ver que não há fator primo em comum com os números 3,5 e 8, então o que faremos é fatorar o número mais próximo de 1, esse número é o número 3 no nosso caso agora podemos ver que 3 é um fator primo, então se dividirmos 3 por 3 teremos:
[tex]\begin{array}{ccc|c}15&25&40&5\\ 3&5&8 &3\\ 1&5&8\end{array}[/tex]
Uma vez que um número é fatorado até chegar ao número, ele deve ser deixado até lá, pois não pode ser mais fatorado, o segundo passo é fatorar o segundo número mais próximo de 1, podemos ver que o número 5 é o mais próximo de 1, mas podemos veja que 5 também é um fator primo, então se dividirmos 5 por 5 teremos:
[tex]\begin{array}{ccc|c}15&25&40&5\\ 3&5&8 &3\\ 1&5&8&5\\ 1&1&8\end{array}[/tex]
Agora o que nos resta é fatorar o número 8 em fatores primos, podemos ver que 8 tem 2 como fator primo, então se dividirmos 8 por 2 devemos obter:
[tex]\begin{array}{ccc|c}15&25&40&5\\ 3&5&8 &3\\ 1&5&8&5\\ 1&1&8&2\\ 1&1&4\end{array}[/tex]
O número 4 também é um fator primo de 2, então dividindo 4 por 2 devemos obter:
[tex]\begin{array}{ccc|c}15&25&40&5\\ 3&5&8 &3\\ 1&5&8&5\\ 1&1&8&2\\ 1&1&4&2\\ 1&1&2\end{array}[/tex]
O número 2 é um fator primo entre si, então o que devemos fazer é dividir 2 por 2, dividindo 2 por 2 obtemos:
[tex]\begin{array}{ccc|c}15&25&40&5\\ 3&5&8 &3\\ 1&5&8&5\\ 1&1&8&2\\ 1&1&4&2\\ 1&1&2&2\\ 1&1&1\end{array}[/tex]
Podemos ver que chegamos a uma linha preenchida com 1, o que significa que nenhum número pode mais ser fatorado, mas então teremos que escolher os fatores comuns e incomuns elevados ao maior expoente e, finalmente, teremos que multiplicar o escolhido fatores, que resulta o resultado desta multiplicação é o mínimo múltiplo comum.
[tex]mmc= 5\cdot 3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\\\\ mmc= 5^2\cdot 3\cdot 2^3\\\\\boxed{mmc=600}[/tex]
Podemos ver que a mmc dos números 15, 25 e 40 é igual a 600, o que equivale a dizer que a cada 600 minutos os três relógios soarão ao mesmo tempo, mas como queremos o resultado em horas, o que devemos levar em conta é que 1 hora contém 60 minutos, pela regra de três podemos ver que 600 minutos é igual a:
[tex]\begin{array}{ccc}60~min&------------&1~h\\600~min&------------&x~h\end{array}[/tex]
Multiplicação cruzada:
[tex]600~min\cdot 1~h=60~min\cdot x\\\\ Despejar~x:\\\\ \dfrac{600~min\cdot h}{60~min}=x\\\\ \boxed{10~h=x}[/tex]
Assim, em 600 minutos há 10 horas, o que significa que o menor intervalo de tempo para as duas batidas simultâneas dos 3 relógios tocarem ao mesmo tempo é igual a 10 horas.
