36 n+2 É um número inteiro
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Assunto:
Matemática -
Autor:
brayden -
Criado em:
1 ano atrás
Respostas 1
Enunciado completo: Determine a soma de todos os inteiros positivos [tex]n[/tex] os quais [tex]\cfrac{36}{n + 2}[/tex] é um número inteiro.────────Para a divisão em questão resultar em um inteiro, [tex]n+2[/tex] deve ser um divisor de 36.Fatorando 36 em primos:[tex]36 = 2^2 \cdot 3^2[/tex]
Os divisores de 36 são obtidos combinando distintas quantidades dos fatores primos de 36. Podemos citá-los todos sem muita dificuldade:[tex]\{1,2,3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}[/tex]
Agora temos que [tex]n+2[/tex], com [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], deve ser igual a cada um desses divisores. Evidentemente o 1 não é válido, ou [tex]n[/tex] seria negativo. O 2 não fará diferença, pois como queremos a soma dos valores de [tex]n[/tex] (e, considerando o divisor 2, [tex]n=0[/tex]) então a soma permanece inalterada.
Agora basta somar os 7 divisores restantes e subtrair 2 a cada um deles:
[tex]3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 - 2 \cdot 7\\= 3(1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12) + 4 - 14\\= 3 \cdot 28 - 10\\= 84 - 10\\= 74[/tex]
A soma é 74.
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