Três números estão em PA. A soma desse três números é 15, e seu produto é 105. Determine a diferença entre o maior e o menor deles

A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que as duas PA: (3, 5 ,7) e ( 7 , 5 , 2)  e a diferença entre o maior e o menor deles é 4.

Progressão aritmética ( P.A ) é uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do 2° ) e o termo antecedente é sempre a mesma ( constante ). A constante é chamada de razão r.

Exemplo:

[tex]\large \textstyle \sf \text {$ \sf \bullet \quad 5,7,9,11,13, \dotsi $ }[/tex]  , é uma PA de termo inicial a_1 = 5 e razão r = 2.

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf a_1 = 5 \\ \sf a_2 =7 \\ \sf a_3 = 9 \\ \sf a_4 = 11 \\ \sf a_5 = 13 \end{cases} } $ }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf (x-r ) +x +(x+r) = 15 \\ \sf (x -r) \cdot x \cdot (x+r) = 105 \end{cases} } $ }[/tex]

Resolução:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x- \diagup\!\!\!{ r} +x +x+ \diagup\!\!\!{ r } = 15 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{3x = 15 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{15}{3} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 5 }[/tex]

Determinar a razão:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (x-r ) \cdot x \cdot (x+r) = 105 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (5-r ) \cdot 5 \cdot (5+r) = 105 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{( 5 -r ) \cdot (5+r) = \dfrac{105}{5} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 25 -r^{2} = 21 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 25 - 21 = r^{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ r^{2} = 4 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ r = \pm \sqrt{4} } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r = \pm 2 }[/tex]

Portanto, as duas PA: (3, 5 ,7) e ( 7 , 5 , 2).

O menor número da sequência é 3 e o maior número é 7.

A diferença entre eles é igual a 7 - 3 = 4.

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