Através do método de Briott-Ruffini, concluímos que a soma dos quadrados das duas raízes procuradas será p² + q² = 26/9.
Para entender melhor a resposta, considere a explicação abaixo:
Dispositivo prático de Briott-Ruffini
A regra de Briott-Ruffini é utilizada para realizar divisões de polinômios e encontrar raízes de polinômios que possuem grau acima de 3. Para isso, escrevemos os coeficientes do polinômio e colocamos uma de suas raízes à esquerda.
Em seguida descemos o primeiro coeficiente e multiplicamos a raíz por este primeiro coeficiente, colocando o produto embaixo do segundo coeficiente. Este produto é somado com o segundo coeficiente e repetimos isso com todos os coeficientes até encontrar o resto 0.
Os números encontrados na última linha serão os coeficientes de um polinômio de 1 grau menor que o polinômio de entrada.
Passo a passo:
Considere o polinômio 9x³-31x-10=0 como sendo 9x³ + 0x² - 31x - 10 = 0.
O enunciado nos disse que uma de suas raízes é 2.
Portanto, temos:
9 l 0 l -31 l -10
2 l 18 l 36 l 10
9 l 18 l 5 l 0
Temos então um polinômio de grau 2:
9x² + 18x + 5 = 0, e então utililzamos fórmula de Bháskara para encontrar as raízes:
[tex]9x^{2} + 18x + 5 = 0~~~\to ~~~x=\dfrac{-18\pm\sqrt{18^{2}-4\cdot 9\cdot 5 } }{2\cdot 9} ~~~\to ~~~\dfrac{-18\pm12}{18} \\ \\ \\ \\ \boxed{p=\dfrac{5}{3} ~~~~e ~~~~ q=\dfrac{1}{3}}[/tex]
Agora basta calcular:
p² + q² =
(5\3)² + (1\3)² = 25\9 + 1\9 = 26\9
Portanto, a soma dos quadrados das raízes é p² + q² = 26/9.
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