Usando a regra do quociente podemos concluir que a derivada da função é
[tex]\Large\text{$\boxed{\dfrac{-6x^2}{(x^3+5)^2} }$}[/tex]
- Mas, como chegamos nessa resposta?
Temos a seguinte função [tex]Y=\dfrac{2}{(x^3+5)}[/tex] queremos achar sua derivada
Perceba que temos uma fração como função então podemos usar a regra do quociente ( Obviamente não é a única maneira de resolver essa questão. Mas, vamos resolver dessa forma)
- Regra do quociente [tex]\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left( \dfrac{F}{G} \right) =\dfrac{F'\cdot G-F\cdot G'}{G^2} }[/tex]
Olhando a função [tex]Y=\dfrac{2}{(x^3+5)}[/tex] podemos perceber que
[tex]F=2\\\\G=(x^3+5)[/tex]
Basta substituirmos
Mas, antes disso lembre-se das seguinte derivadas
- Derivada de uma constante
[tex]\dfrac{dy}{dx}(C)= 0[/tex]
- Derivada de uma Variável com expoente constante
[tex]\dfrac{dy}{dx}(X^C)= C\cdot X^{C-1}[/tex]
Com isso em mente vamos fazer a questão
[tex]Y'=\dfrac{2}{(x^3+5)}\\\\\\Y'=\dfrac{2'\cdot (x^3+5)- 2\cdot (x^3+5)'}{(x^3+5)^2}\\\\\\Y'=\dfrac{0\cdot (x^3+5)- 2\cdot (3x^2+0)}{(x^3+5)^2}\\\\\\Y'=\dfrac{0- 2\cdot (3x^2)}{(x^3+5)^2}\\\\\\\boxed{Y'=\dfrac{-6x^2}{(x^3+5)^2}}[/tex]
- Detalhe, pode-se fazer o produto notável de [tex](x^3+5)[/tex] que é [tex]x^6+ 10x^3+25[/tex] mas se deixarmos [tex](x^3+5)^2[/tex] fica mais simplificado
Então podemos dizer que a derivada da função é
[tex]\Large\text{$\boxed{\dfrac{-6x^2}{(x^3+5)^2} }$}[/tex]
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