O valor que Ayanokoji acho na equação modular foi de
[tex]\Large\text{$\boxed{\boxed{a=-1}}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\boxed{\boxed{a=2}}$}[/tex]
- Mas, como chegamos nessa resposta ?
Temos uma equação modular ou seja temos um modulo na equação
Para resolvermos esse problema precisamos saber das propriedades da equação modular
- Valor da variável maior ou igual a 0
[tex]\boxed{|x|\geq 0\Rightarrow x}[/tex]
- Valor da variável menor que 0
[tex]\boxed{|x| < 0 = -x}[/tex]
Mas, perceba que n temo um variável no modulo é sim [tex]|a+4|[/tex] então temos que fazer uma inequação
[tex]|a+4|\geq 0\Rightarrow \boxed{|a|\geq -4}[/tex]
[tex]|a+4| < 0 \Rightarrow\boxed{ -|a| < -4}[/tex]
Então teremos duas equações para resolver
[tex]\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}+(4+a)=a+7~~ Sendo~a\geq -4[/tex]
[tex]\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-(4+a)=a+7~~ Sendo~a < -4[/tex]
Vamos começar com a primeira
[tex]\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}+(4+a)=a+7~~ Sendo~a\geq -4\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}+4+a=a+7\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=a+7-a-4\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=3\\\\\\[/tex]
[tex]\left(\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}\right)^2=(3)^2\\\\\\4a^2-4a+1=9\\\\4a^2-4a+1-9=0\\\\4a^2-4a-8=0\\\\(4a^2\div 4)-(4a\div 4)-(8\div 4)=(0\div 4)\\\\\boxed{a^2-a-2=0}[/tex]
Fazendo Bhaskara temos
[tex]\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2a} \\\\\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)} }{2\cdot 1} \\\\\\\dfrac{1\pm\sqrt{1+8} }{2}\\\\\\\dfrac{1\pm\sqrt{9} }{2}\\\\\\\dfrac{1\pm3}{2}\\\\\\a_1=\dfrac{1+3}{2} \Rightarrow\dfrac{4}{2}\Rightarrow \boxed{2}\\\\a_2=\dfrac{1-3}{2} \Rightarrow\dfrac{-2}{2}\Rightarrow \boxed{-1}[/tex]
Ou seja acharmos 2 e -1 como solução vamos ver se eles cumprem a condição
[tex]Condic\~ao= a\geq -4[/tex]
[tex]\boxed{2\geq -4\Rightarrow Verdadeira}\\\\\boxed{-1\geq -4\Rightarrow Verdadeira}[/tex]
Assim concluímos que -1 e 2 são soluções da equação
Agora vamos ver para a outra equação
[tex]\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-(4+a)=a+7~~ Sendo~a < -4\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-(4+a)=a+7\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-4-a=a+7\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=a+7+4+a[/tex]
[tex]\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=2a+11\\\\\left(\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}\right)^2=\left(2a+11\right)^2\\\\4a^2-4a+1= 4a^2+44a+121\\\\4a^2-4a+1-4a^2-44a-121=0\\\\-48a-120=0\\\\-48a=120\\\\a=\dfrac{120}{-48} \\\\\boxed{a=-2{,}5}[/tex]
Achamos que o valor de [tex]a[/tex] é -2,5 Agora vamos ver se ele cumpre a condição
[tex]a < -4[/tex]
[tex]\boxed{-2{,}5 < -4 \Rightarrow Falso}[/tex]
Logo -2,5 não é solução, então os únicos valores de [tex]a[/tex] que cumprem a igualdade são -1 e 2
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