Resposta: Dos devidos cálculos que nos envolvemos em realizar, podemos concluir que o valor deste limite é igual a 1/2.
Estamos interessados em encontrar o valor deste limite:
[tex]\boxed{\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1-cos~ x}{x^2}\right)}[/tex]
A primeira coisa que devemos sempre fazer quando temos um limite é avaliar o valor desse limite quando a variável x tende a um valor, no nosso caso esse valor é igual a 0, então substituindo x por 0 em toda nossa expressão obtemos:
[tex]\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1-cos (0)}{0^2}\right)\\\\\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\dfrac{1-1}{0} \\\\\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\dfrac{0}{0} [/tex]
Observamos o valor que obtemos em nosso limite, o valor que obtivemos é igual a 0/0 mas esse valor é indeterminado, podemos pensar que 0/0 é igual a 1 pois dividir dois números iguais é igual a 1 mas com 0 é algo diferente pois dizer que 0/0 é igual a 1 é quebrar o universo por completo já que no mundo da matemática o resultado dessa divisão é indeterminado, é como dividir infinito por infinito pensaríamos que é igual para 1, mas não mais que infinito é um número muito grande e pode ser que apenas um infinito seja maior que o outro.
Quando obtemos um valor indeterminado de algum limite devemos encontrar alguma assinatura para simplificar a expressão desse limite, para simplificar essa expressão podemos usar várias ferramentas que existem na matemática, isso pode ser divisão de polinômios, binomio ao cubo, identidades trigonométricas, séries Taylor, etc. Existe até um método chamado L'Hopital, esse método visa retirar os indeterminados mais usando o conceito de derivadas.
Digamos que você ainda não tenha aprendido L'Hopital e não saiba como calcular esse limite sem usar esse método, o que podemos fazer é usar a seguinte série de Taylor:
[tex]\sf cos~x=1-\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!}+\dots[/tex]
O que fazemos é substituir esta série em nosso limite e assim obter:
[tex]\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1-\left(1-\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!}+\dots\right)}{x^2}\right)\\\\ \displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1-1+\dfrac{x^2}{2!} -\dfrac{x^4}{4!} +\dfrac{x^6}{6!}-\dots}{x^2}\right)\\\\\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\dfrac{x^2}{2!} -\dfrac{x^4}{4!} +\dfrac{x^6}{6!}-\dots}{x^2}\right) [/tex]
Observe que a expressão inteira tem x ao quadrado como um múltiplo, então podemos extrair x ao quadrado como um fator comum e assim obter a expressão:
[tex]\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\dfrac{\not\!\!x^2\left(\dfrac{1}{2!} -\dfrac{x^2}{4!} +\dfrac{x^4}{6!}-\dots\right)}{\not\!\!x^2} \\\\\displaystyle \sf \lim_{x\to0} \left(\dfrac{1}{2!} -\dfrac{x^2}{4!} +\dfrac{x^4}{6!}-\dots \right)[/tex]
Termos após 1/2! tem a variável x no denominador, então tendo x no numerador e como x tende a 0 toda essa expressão tenderá a 0 então temos:
[tex]\displaystyle \sf \lim_{x\to0} \left(\dfrac{1}{2!} -\overbrace{\sf\dfrac{0^2}{4!} +\dfrac{0^4}{6!}-\dots}^{\sf 0}\right)\\\\\\ \displaystyle \sf \lim_{x\to0} ~\dfrac{1}{2\cdot1}\\\\ \boxed{\sf \lim_{x\to0}~\dfrac{1}{2}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta }[/tex]
Podemos ver que o resultado é 1/2, mas pode ser que usar a série de Taylor seja um método muito avançado para nós, então aqui existe um segundo método e é multiplicar pelo conjugado todo esse limite. O conjugado aqui é igual a expressão do denominador mais trocando o sinal de menos por mais, ou seja, vamos multiplicar esse limite por:
[tex]\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1-cos~ x}{x^2}\right)\cdot \left(\dfrac{1+cos~x}{1+cos~x}\right)[/tex]
Observe que essa expressão permanece a mesma, pois dividindo cos x + 1 por cos x +1 obtemos 1 e 1 multiplicado por qualquer número é igual a esse mesmo número. Fazendo o produto obtemos:
[tex]\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1^2-cos^2 x}{x^2\cdot (1+cos~x)}\right)\\\\\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1-cos^2 x}{x^2\cdot (1+cos~x)}\right) [/tex]
Vamos simplificar esta expressão, o que faremos é aplicar a seguinte identidade trigonométrica na expressão do numerador: [tex]\boxed{\sf 1- cos^2x = sen^2x}[/tex]
Então aplicando isso temos:
[tex]\displaystyle \sf \lim_{x\to0}\left(\dfrac{sen^2x}{x^2\cdot (1+cos~x)}\right) \\\\ \displaystyle \sf \lim_{x\to0}\dfrac{sen~x}{x}\cdot\dfrac{sen~x}{x}\cdot \dfrac{1}{1+cos~x}[/tex]
Agora vamos lembrar que por definição o limite quando x tende a 0 de sen x sobre x é igual a 1, isso é ensinado principalmente em cálculo, então sabendo que o limite quando x tende a 0 de sen x/x é igual a 1 nós obter a expressão:
[tex] \displaystyle \sf \lim_{x\to0}1\cdot1\cdot \dfrac{1}{1+cos~x}\\\\\displaystyle \sf \lim_{x\to0} \dfrac{1}{1+cos~x} [/tex]
Substituindo x por 0 em nossa nova expressão podemos verificar que nosso resultado é igual a:
[tex] \displaystyle \sf \lim_{x\to0} \dfrac{1}{1+cos(0)} \\\\ \displaystyle \sf\lim_{x\to0} \dfrac{1}{1+1} \\\\\boxed{\sf \lim_{x\to0}~\dfrac{1}{2}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta} [/tex]
