A alternativa E é a correta. A equação da reta pedida é 16x - 12y + 11 = 0.
Podemos determinar a equação geral da reta, a partir da determinação do seu coeficiente angular e depois determinando o coeficiente linear.
Equação Reduzida da Reta
Toda reta pode escrita na sua forma reduzida da seguinte forma:
[tex]\boxed{ y = ax +b, a \neq 0 }[/tex]
Observe que y está isolada na equação reduzida da reta.
Os números a e b são coeficientes da reta. Sendo que:
- a é o coeficiente angular da reta;
- b é o coeficiente linear da reta.
Podemos escrever a equação da reta dada na forma reduzida, isolando y:
[tex]3x+4y-12=0 \\\\4y = -3x+12 \\\\y = \dfrac{-3x+12}{4} \\\\y = -\dfrac{3x}{4} + 3[/tex]
Assim, a equação reduzida da reta dada é y = -(3/4)x + 3. Assim, seu coeficiente angular é -3/4.
Coeficiente Angular de Retas Perpendiculares
Seja duas retas r e s perpendiculares. O coeficiente angular dessas retas obedece à relação:
[tex]\boxed{ m_{r} \cdot m_{s} = -1 }[/tex]
Como o coeficiente angular da reta dada é -3/4, podemos determinar o coeficiente angular da reta perpendicular a ela:
[tex]m_{r} \cdot m_{s} = -1 \\\\(-\frac{3}{4})\cdot m_{s} = -1 \\\\m_{s} = \dfrac{-1}{\frac{-3}{4}} \\\\m_{s} = -1 \cdot \dfrac{4}{-3} \\\\\boxed{ m_{s} = \dfrac{4}{3} }[/tex]
Logo, o coeficiente angular da reta que procuramos é 4/3.
Coeficiente Linear
É dado que a reta procurada passa pelo ponto (1, 9/4). Podemos utilizar essa informação para determinar seu coeficiente linear.
Utilizando a equação reduzida da reta:
[tex]y = ax+b \\\\y = \dfrac{4 x}{3} + b[/tex]
Substituindo x = 1 e y = 9/4.
[tex]\dfrac{9}{4} = \dfrac{4 \cdot 1}{3}+b \\\\\\b = \dfrac{9}{4} - \dfrac{4}{3} \\\\\\\boxed{b = \dfrac{11}{12}}[/tex]
Assim, a equação reduzida da reta procurada é:
[tex]\boxed{ y = \dfrac{4x}{3}+\dfrac{11}{12} }[/tex]
Escrevendo a equação na forma geral:
[tex]y = \dfrac{4x}{3}+\dfrac{11}{12} \\\\\\\dfrac{12}{12}y = \dfrac{16}{12}x+\dfrac{11}{12} \\\\\\12y = 16x+11 \\\\\boxed{\boxed{16x-12y+11=0 }}[/tex]
A equação geral da reta pedida é 16x - 12y + 11 = 0. A alternativa E é a correta.
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Espero ter ajudado, até a próxima :)
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