Resposta:
Definimos uma função [tex]y=e^{r.t}[/tex] e a substituímos na equação diferencial dada pelo problema para obtermos a equação característica. Ou seja:
y" + 2y' - 3y = 0 (*)
[tex]y=e^{r.t}[/tex] ; [tex]y'=r.e^{r.t}[/tex] ; [tex]y''=r^{2}.e^{r.t}[/tex]
Substituindo esses termos em (*):
[tex]r^{2} .e^{r.t}+2.r.e^{r.t}-3.e^{r.t}=0[/tex]
[tex]r^{2}+2.r-3=0[/tex]
Δ = b² - 4.a.c = 2² - 4.(1).(-3) = 4 + 12 = 16
r₁ = (-b + √Δ)/2 = (-2 + 4)/2 = 1
r₂ = (-b - √Δ)/2 = (-2 - 4)/2 = -3
Solução geral da equação diferencial:
[tex]y(x) = c_{1} .e^{r_{1}.t}+ c_{2} .e^{r_{2}.t}[/tex] ⇒ [tex]y(x) = c_{1} .e^{t}+ c_{2} .e^{-3.t}[/tex]
Onde c₁ e c₂ são constantes a serem determinadas quando fornecidas condições iniciais ou de contorno.