Alguém poderia me ajudar a resolver isso?[tex]\int\limits^1_0 {xln(1+x)} \, dx[/tex]
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Assunto:
Matemática -
Autor:
belle81 -
Criado em:
1 ano atrás
Respostas 1
Resposta:
Olá boa tarde!
Utilize a integração por substituição:
[tex]\int\limits {f[g(x)] . g'(x)dx[/tex]
Fazendo:
[tex]u = g(x)[/tex]
[tex]u' = du[/tex]
teremos:
[tex]\int\limits {f(u) . du[/tex]
Fazendo u = x + 1 teremos
u'(x) = du/dx = 1
x = u - 1
Reescrevendo a integral:
[tex]\int\limits {(u-1)ln(u)du[/tex]
[tex]\int\limits {ln(u)(u-1)du[/tex]
Agora aplicamos a regra da cadeia na integral:
[tex]\int\ udv = uv-\int\ u'dv[/tex]
[tex]u' = [ln(u)]' = 1/u\\\\v'= \int\ ({u-1}) \, du = \frac{u^2}{2} - u[/tex]
Substituindo na expressão da regra da cadeia:
[tex]\ln \left(u\right)\left(\frac{u^2}{2}-u\right)-\int \frac{1}{u}\left(\frac{u^2}{2}-u\right)du[/tex]
[tex]I = \ln \left(u\right)\left(\frac{u^2}{2}-u\right)-\left(\frac{u^2}{4}-u\right)[/tex]
Como u = x + 1, podemos fazer com os intervalos:
x = 0:
u = 0 + 1
u = 1
x = 1:
u = 1 + 1
u = 2
E realizar o teorema fundamental do cálculo na integral I :
= ln(2) (2 - 2) - (1 - 2) - (ln(1) (1/2 - 1) - (1/4 - 1)
= 0 + 1 - (0 + 3/4)
= 1 - 3/4
= 1/4Visualize melhor no navegador https://brainly.com.br/tarefa/53597040
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